$HOSTEL$ से $ALLEN$ तक के सबसे छोटे रास्तों की संख्या (दी गई आकृति में दिखाए अनुसार) कितनी है?

$4$ समांतर रेखाओं के एक समूह और $3$ समांतर रेखाओं के दूसरे समूह के प्रतिच्छेदन से बनने वाले समांतर चतुर्भुजों की संख्या क्या है?

एक आयत $ABCD$ पर विचार करें जिसमें रेखाखंड $AB, BC, CD, DA$ के आंतरिक भाग में क्रमशः $5, 6, 7, 9$ बिंदु हैं। मान लीजिए $\alpha$ अलग-अलग भुजाओं से इन बिंदुओं को शीर्ष के रूप में लेकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या है और $\beta$ अलग-अलग भुजाओं से इन बिंदुओं को शीर्ष के रूप में लेकर बनने वाले चतुर्भुजों की संख्या है। तो $(\beta-\alpha)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि एक नियमित बहुभुज में विकर्णों की संख्या $54$ है,तो इस बहुभुज की भुजाओं की संख्या क्या है?

मान लीजिए कि $p_n$ एक $n$-भुजा वाले नियमित बहुभुज के शीर्षों को जोड़कर बनने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या को दर्शाता है। यदि $p_{n+1} - p_n = 66$ है, तो $n$ के सभी भिन्न अभाज्य विभाजकों का योग क्या है?

$3$ लड़कों और $2$ लड़कियों के एक बेंच पर बैठने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें।